Wielomiany

Wielomianem stopnia n jednej zmiennej x nazywamy funkcję w postaci $W(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ , gdzie $n\in N,\ x\in R,\ a_0 ... a_n \in R,\ a\not = 0$ .

Liczby $a_0,\ a_1,\ ...,\ a_n$ to współczynniki wieomianu.
Liczbę $a_0$ nazywamy wyrazem wolnym wielomianu.

Wielomianem zerowym nazywamy funkcję o stałej wartości zero : $W(x)=0$ dla $x\in R$ .

Jednomianem stopnia n nazywamy funkcję w postaci $W(x)=a_nx^n$ , $n\in N,\ x\in R,\ a_n \in R$ .
Wielomian to suma jednomianów, które nazywamy wyrazami jednomianu.

Wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $Q(x)$ taki, że $W(x)=P(x)\cdot Q(x)$ . (dla $P(x)\not=0$ )

Pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ nazywamy liczbę dla której $W(a)=0$ .
Przykład:
Mamy wielomian stopnia pierwszego $W(x)=4x+2$
Pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba $a=-0.5$ poniewiaż podstawiając ją za zmienną x otrzymamy właśnie $W(a)=0$ .

Twierdzenie Bezout
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $(x-a)$ . Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ wynosi $W(a)$ .

Twierdzenia o piewiastkach wielomianu:

1. Jeżeli całkowita liczba $a$ (różna od zera) jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego $a_{\small 0}$ .

2. Jeżeli nieskracalny ułamek $\frac{p}{q}$ jes pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ o współczynnikach całkowitych, to liczba $p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego $a_{\small 0}$ , zaś liczba $q$ jest dzielnikiem współczynnika $a_n$ .

Rozkład wielomianu:

Jeżeli liczby $x_1,\ x_2,\ x_3,\ ...,\ x_n$ $x_1,\ x_2,\ x_3,\ ...,\ x_n$ są pierwiastkami wielomianu $W(x)$ stopnia $n$ to prawdziwa jest równość $W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdot ...\cdot(x-x_n)$ .

Menu Główne

Matura 2011

Wzory matematyczne

Zadania matematyczne

Wielomiany

Działy