Punkty i wektory

Każdy punkt A na płaszczyźnie odpowiada jednoznacznie uporządkowanej parze liczb (x,y), które nazywamy współrzędnymi punktu i zapisujemy $P=(x_p,\ y_p)$ . Odciętą nazywamy pierwszą współrzędną punktu, zaś drugą nazywamy rzędną punktu P.

Mając dwa punkty $A=(x_1,\ y_1)$ , $B=(x_2,\ y_2)$ na płaszczyźnie możemy obliczyć odległość pomiędzy nimi korzystając ze wzoru: $|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$ .

Współrzędnymi wektora $\widevec{AB}$ nazywamy różnicę odciętych oraz różnicę rzędnych końca B i początku A. $\widevec{AB}=[x_2-x_1, y_2-y_1]$ .

Dwa wektory $\widevec{AB}=[x_{ab}, y_{ab}]$ i $\widevec{CD}=[x_{cd}, y_{cd}]$ są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współrzędne. Czyli $\widevec{AB}=\widevec{CD}\Leftright x_{ab}=x_{cd} \wedge y_{ab}=y_{cd}$ .

Długość wektora $\widevec{a}=[a_1,\ a_2]\Rightarrow|\widevec{a}|=\sqrt{a_1\ ^2+a_2\ ^2}$

Działania na wektorach w układzie współrzędnych:
dla $\widevec{a}=[x_{a}, y_{a}]$ i $\widevec{b}=[x_{b}, y_{b}]$

1. Dodawanie wektorów $\widevec{a}+\widevec{b}=[x_a+x_b,\ y_a+y_b]$
2. Odejmowanie wektorów $\widevec{a}-\widevec{b}=[x_a-x_b,\ y_a-y_b]$
3. Mnożenie ze współczynnikiem $k\cdot\widevec{a}=[k\cdot x_a,\ k\cdot y_a]$

Iloczyn skalarny wektorów $\widevec{a}=[x_{a}, y_{a}]$ i $\widevec{b}=[x_{b}, y_{b}]$ to $\widevec{a}\ \circ\ \widevec{b}=x_a\cdot x_b\ +\ y_a\cdot y_b$ .

Warunek prostopadłości dwóch wektorów: $\widevec{a}\bot\widevec{b}\ \Leftright\ \widevec{a}\circ\widevec{b}=0\ \Leftright\ x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b=0$ .

Warunek równoległości dwóch wektorów: $\widevec{a}\parallel\widevec{b} \Leftright\ x_a\cdot y_b-y_a\cdot x_b=0$ .

Kąt pomiędzy dwoma wektorami $\widevec{a}=[x_{a}, y_{a}]$ i $\widevec{b}=[x_{b}, y_{b}]$ :

$\cos\angle(\widevec{a},\widevec{b})=\frac{\widevec{a}\circ\widevec{b}}{|\widevec{a}|\cdot|\widevec{b}|}$ i $\sin\angle(\widevec{a},\widevec{b})=\frac{d(\widevec{a}, \widevec{b})}{|\widevec{a}|\cdot|\widevec{b}|}$

Menu Główne

Matura 2011

Wzory matematyczne

Zadania matematyczne

Punkty i wektory

Działy