Granica ciągu

Ciąg ( $a_n$ ) jest zbieżny do liczby $g$ , gdy dla dowolnej liczby $\epsilon>0$ istnieje taka liczba $M$ , że jeśli $n>M$ , to $|a_n-g|<\epsilon$ . Jeśli ciąg ( $a_n$ ) jest zbieżny do liczby $g$ to mówimy, że granicą tego ciągu jest $g$ i zapisujemy $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=g$ .

Twierdzenia o granicach ciągów zbieżnych:

1. $\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}a_n+\lim_{n\rightarrow \infty}b_n$

2. $\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}a_n-\lim_{n\rightarrow \infty}b_n$

3. $\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\cdot \lim_{n\rightarrow \infty}b_n$

4. $\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{a_n}{b_n})=\frac{\lim_{n\rightarrow \infty}a_n}{\lim_{n\rightarrow \infty}b_n}$ dla $b_n\not =0\ \wedge\ \lim_{m\rightarrow\infty}b_n\not =0$

5. $\lim_{n\rightarrow \infty}(\lambda\cdot a_n)=\lambda\cdot\lim_{n\rightarrow \infty}a_n$

PRZYKŁAD 1

Spróbujmy obliczyć granicę ciągu $\frac{2n^2-2n+1}{3n^2-2n+5}$ .

Najlepszym sposobem jest podzielenie licznika i mianownika przez liczbę $n$ do potęgi największej jaka jest w mianowniku. W mianowniku największe jest $n^2$ dlatego dzielimy przez nią każde wyrażenie. Otrzymujemy granice z liczb czyli 2 i 3. Zaś wyrażenia które w mianowniku zawierają $n$ (lub $n$ do potęgi) dążą do 0. W ten sposób otzymujemy wynik.

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n^2-2n+1}{3n^2-2n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{2n^2}{n^2}-\frac{2n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{3n^2}{n^2}-\frac{2n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}=$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\2-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{3-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}=$ $\frac{2-0+0}{3-0+0}$ $=\frac{2}{3}$

Menu Główne

Matura 2011

Wzory matematyczne

Zadania matematyczne

Granica ciągu

Działy