Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Jeżeli dany kąt skierowany $\alpha$ ustawimy w układzie współrzędnych tak aby wierzchołek kąta był początkiem układu a oś x (odcięta) była ramieniem początkowym kąta i punkt P leżał na ramieniu końcowym kąta to możemy wyróżnić następujące funkcje tego kąta

Rysunek ustawienia kąta w układzie współrzędnych ( r - promień wodzący )

Sinusem dowolnego kąta $\alpha$ nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do długości promienia wodzącego tego punktu

$\sin\alpha=\frac{y}{r}$

Cosinusem dowolnego kąta $\alpha$ nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do długości promienia wodzącego tego punktu.

$\cos\alpha=\frac{x}{r}$

Tangensem dowolnego kąta $\alpha$ nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do odciętej tego punktu.

$\tan\alpha=\frac{y}{x}$

Cotangensem dowolnego kąta $\alpha$ nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do rzędnej tego punktu.

$\cot\alpha=\frac{x}{y}$

Ważne związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta.

- $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
(suma kwadratów funkcji sinus i cosinus tego samego kąta alfa jest równa 1)

- $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
(tangens kąta alfa jest to iloraz sinusa i cosinusa tego samego kąta alfa)

- $\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
(cotangens kąta alfa jest to iloraz cosinusa i sinusa tego samego kąta alfa)

- $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$
(iloczyn tangensa i cotangensa tego samego kąta alfa wynosi 1)

Tabelka przedstawiająca wzory redukcjyjne funkcji trygonometrycznych

Menu Główne

Matura 2011

Wzory matematyczne

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Działy