Funkcja kwadratowa

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję określoną dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem $f(x)= ax^2+bx+c$ , gdzie a,b,c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a\not =0$ .
Wielomian $ax^2+bx+c$ nazywamy trójmianem kwadratowym.

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego(funkcji kwadratowej): $y=a$ x-p$^2+q$

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
Wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych $p,q$ .
Wierzchołek dzieli parabolę na dwie części, które nazywamy ramionami.

Wyróżnik kwadratowy jest to liczba określona wzorem $\Delta = b^2-4ac$ , dzięki niej łatwiej możemy określić pierwiastki równania kwadratowego.

Pierwiastkiem równania kwadratowego $f$ nazywamy każde rozwiązanie równania $f(x)=0$
Pierwiastek równania jest jednocześnie jego miejscem zerowym (miejsce przecięcia osi X/odciętej).

Przekształcenie postaci kanonicznej:

$y=a$ x-p$^2+q$

$y=a(x^2-2px+p^2)+q$

$y=ax^2-2apx+ap^2+q$

$y=ax^2\huge -2ap\large x+\huge ap^2+q$

$y= ax^2+\huge b\large x+\huge c$

$\Delta = b^2-4ac$

$-2ap=b$ $ap^2+q=c$

$p=-\frac b{2a$ $q=-ap^2+c$

$q=-a(-\frac b{2a})^2+c$

$q=-a\frac{b^2}{4a^2}+c$

$q=-\frac{b^2}{4a}+c$

$q=\frac {-(b^2+4ac)}{4a}$

$q=\frac {-\Delta}{4a}$

Opis przekształcenia:
1. W naszej postaci kanonicznej opuszczamy nawias korzystając z wzoru skróconego mnożenia.
2. Porównujemy rozłożoną postać kanoniczną z postacią wielomianową. Wypisujemy zależności.
3. Rozwiązujemy równania dzięki czemu wyznaczamy p i q.

Wierzchołkiem paraboli funkcji kwadratowej jest zatem punkt o współrzędnych $-\frac b{2a},-\frac \Delta{4a}$

Funkcja kwadratowa $y=a$ x-p$^2+q$ jest funkcją $y=ax^2$ przesuniętą o wektor $[p,q]$ .
Przykład:
Funkcja $y=(x-3)^2-2$ jest funkcją $y=x^2$ przesuniniętą o wektor $[3,-2]$

Równanie kwadratowe $ax^2+bx+c=0$ ( $a\not =0$ ) posaidające wyróżnik $\Delta = b^2-4ac$ :

1) Ma dokładnie dwa rozwiązania $x_1= \frac {-b-sqrt\Delta}{2a}$ i $x_1= \frac {-b+sqrt\Delta}{2a}$ jeżeli $\Delta>0$

2) Ma dokładnie jedno rozwiązanie $x_1= \frac {-b}{2a}$ jeżeli $\Delta=0$

3) Nie ma rozwiązań jeÂżeli $\Delta<0$

Menu Główne

Matura 2011

Wzory matematyczne

Funkcja kwadratowa

Działy