Tożsamości trygonometryczne

Tożsamości trygonometryczne

Spis:

- wzory na sinus, cosinus, tangens, cotangens sumy i różnicy kątów
- wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu
- wzory na sumę sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów
- wzory na różnicę sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów:

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

$tg(\alpha+\beta)=\frac{tg\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha tg\beta}$

$tg(\alpha-\beta)=\frac{tg\alpha-tg\beta}{1+tg\alpha tg\beta}$

$ctg(\alpha+\beta)=\frac{ctg\alpha ctg\beta-1}{ctg\alpha+ctg\beta}$

$ctg(\alpha-\beta)=\frac{ctg\alpha ctg\beta+1}{ctg\alpha-ctg\beta}$

Wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu:

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

$\sin2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1+tg^2\alpha}$

$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha$

$\cos2\alpha=\frac{1-tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}$

$tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}=\frac{2}{ctg\alpha-tg\alpha}$

$ctg2\alpha=\frac{ctg^2\alpha-1}{2ctg\alpha}=\frac{ctg\alpha-tg\alpha}{2}$

Wzory na sumę:

$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\tan\alpha+\tan\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta$

$\cot\alpha+\cot\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta$

Wzory na różnicę:

$\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}$

$\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\tan\alpha-\tan\beta=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta$

$\cot\alpha-\cot\beta=\frac{\sin(\beta-\alpha)}{\sin\alpha\sin\beta$